DOC Inégalités, intervalles, inéquations

Sommaire

Ce cours est une introduction aux notions simples sur les inégalités. Son but est de présenter définitions, propriétés de base et calculs et applications usuels.

Pour une approche plus approfondie de ces notions, on pourra consulter avec le plus grand profit le cours Inégalités, inéquations .

Les pages principales (A1, A2, A3, ...) proposent un parcours progressif avec définitions, règles, exemples simples et exercices basiques. Les pages annexes (A1+, A1++, A4+, B1+, ...) qui figurent en retrait, présentent d'autres exemples et exercices plus élaborés, partant souvent de situations concrètes.

Des exercices interactifs pour illustrer ce cours sont en cours de publication, ils y seront insérés dès que possible.

A. Inégalités et comparaisons

B. Inégalités et opérations

C. Valeur absolue, carrés, racines

D. Intervalles

E. Majorer, minorer, encadrer

F. Inéquations

Commentaire pour le professeur. On peut utiliser ce document, avec ses exercices, dans un objectif de mise à niveau et de remédiation sur le sujet rarement bien maîtrisé des inégalités, notamment pour une meilleure réussite aux études supérieures en Sciences-Technologies-Santé (Licences, DUT, PASS, ...), en Économie-Gestion, ....

A1. Plus petit, plus grand

Cette page présente des définitions et les premiers exemples sur les façons de caractériser le plus grand ou le plus petit de deux nombres réels.

Définitions. Soient a et b deux nombres réels.
Exemples I.
  1. Les relations 3≤5 et 5≤7 sont vraies. La double inégalité 3≤5≤7 signifie : 3≤5 et 5≤7.
  2. L'inégalité 3≤3+x 2 est vraie pour tout x réel, car le carré de x est toujours positif ou nul, quel que soit le réel x.
  3. Étant donné deux nombres réels x et y, on note a le produit 2xy et b le carré de leur somme. Montrer l'inégalité a≤b.
    Solution. On a donc : b=(x+y) 2=x 2+2xy+y 2. L'inégalité a≤b est vraie car la différence b−a=x 2+y 2 est la somme de deux carrés, donc est positive ou nulle.
Définitions. Soient a, b, c, ... des nombres réels.
Exemples II.
  1. L'inégalité stricte 3<5 est vraie, ainsi que l'inégalité large 3≤5.
  2. Quel que soit x≠1, le quotient F(x)=1−x 31−x est un nombre strictement positif.
    Solution.
    Selon l'identité remarquable a 3−b 3=(a−b)(a 2+a×b+b 2), le numérateur est égal à (1−x)(1+x+x 2). On obtient F(x)=1+x+x 2. Ce trinôme ayant un discriminant Δ=−3 strictement négatif est de signe constant, positif ici comme le coefficient 1 du terme en x 2. Voir le cours sur le signe d'un trinôme .
Exercice. Quel est le plus grand périmètre ?

Pour aller plus loin : des exemples et exercices plus élaborés sont présentés dans les pages suivantes :

A1+ Comparer les tailles des élèves d'un groupe

Cette page présente d'autres exemples et exercices en lien avec A1. Plus petit, plus grand

i = 1 i = 2
Exemple.

On a relevé les tailles (en cm) de 20 élèves disposés en 5 rangées de 4, c'est-à-dire 5 lignes et 4 colonnes dans le tableau ci-dessous.

179 177 176 174
175 184 169 173
172 178 170 181
183 185 166 180
171 167 168 182
Solution

Autres exemples et exercices : A1++ Quel est le plus grand terme de la suite ?

A1++ Quel est le plus grand terme de la suite ?

Cette page présente d'autres exemples et exercices en lien avec A1. Plus petit, plus grand

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