Equations différentielles ordre2

Plan du chapitre

Dans les exemples du cours, en cliquant sur

, vous obtiendrez un nouvel exemple avec d'autres valeurs numériques.

Dans le cours et les exemples, $y$ est une fonction de la variable $t$ . Dans les exercices, la variable peut être soit $t$ , soit $x$ .

Pour des raisons pratiques, les constantes notées $lambda$ et $mu$ dans le formulaire de BTS sont ici nommées $h^{}$ et $k^{}$ .
Dans les réponses aux exercices utilisant ces constantes, il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace.
Pour donner la réponse $k e^{3 t}$ , on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).

Il est possible dans un premier temps de laisser de côté les parties sur fond gris.

Préliminaire : équation du second degré dans $CC$

Equations différentielles de la forme ay'' + by' + cy = 0

Equation caractéristique
1° cas : l'équation caractéristique a deux solutions réelles

2° cas : l'équation caractéristique a une solution réelle

3° cas : l'équation caractéristique a deux solutions complexes non réelles

Conditions initiales

Equations différentielles de la forme ay'' + by' + cy = φ(t)

Théorème fondamental
Recherche d'une solution particulière
Résolution de l'équation "avec second membre"
Conditions initiales

Solutions complexes des équations du second degré à coefficients réels

On rappelle que $CC$ est l'ensemble des nombres de la forme

α + β i

où $alpha$ et $beta$ sont deux réels et

i

est un nombre (non réel) qui vérifie

i^{2} = - 1

On s'intéresse ici uniquement aux équations de la forme $a z^{2} + b z + c = 0$ où $a$ , $b$ et $c$ sont réels (avec $a \neq 0$ ) et où l'inconnue $z$ appartient à $CC$

Méthode

Calculer le discriminant : $Δ = b^{2} - 4 ac$ .
Regarder le signe de $Delta$ .

Δ > 0

, l'équation a deux solutions réelles :

z_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

z_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

Un exemple :

Résoudre l'équation : .

Le discriminant est : .
Il est strictement positif, donc l'équation a deux solutions réelles.
Ces solutions sont : et

Si , l'équation a une solution réelle : .

Un exemple :

Résoudre l'équation : .

Le discriminant est : .
Il est nul, donc l'équation a une solution réelle.
Cette solution est :

Exercice

Si , l'équation a deux solutions complexes conjuguées : et .
Un exemple :

Résoudre l'équation : .

Le discriminant est : .
Il est strictement négatif, donc l'équation a deux solutions complexes.
Ces solutions sont : et

Exercice

Equations différentielles de la forme ay'' + by' + cy = 0

On s'intéresse ici aux équations différentielles de la forme où :
désigne une fonction de la variable ,
désigne la dérivée de ,
et désigne la dérivée seconde de , c'est à dire la dérivée de
les coefficients , et sont des constantes réelles.

Pour résoudre une équation de ce type, on commence par écrire son équation caractéristique .

Equation caractéristique associée à une équation différentielle

Définition : L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle est l'équation d'inconnue : .

On résout cette équation dans $CC$ .

On a donc trois cas selon que est strictement positif , nul , ou strictement négatif .

Cas 1 : Δ > 0

Théorème :
Si l'équation caractéristique a deux solutions réelles et , alors l'équation différentielle admet comme solutions les fonctions :
, où h et k sont deux constantes réelles quelconques.

Il y a donc une (double) infinité de solutions à cette équation.

Un exemple :

Résoudre l'équation : .

L'équation caractéristique associée à est .
Son discriminant est : .
L'équation caractéristique a deux solutions réelles : et

Les solutions de sont donc les fonctions , où et sont deux constantes réelles.

Exercice guidé
Exercice

Cas 2 : Δ = 0

Théorème : Si l'équation caractéristique a une solution réelle , alors l'équation différentielle admet comme solutions les fonctions :
, où et sont deux constantes réelles quelconques.

Il y a donc une (double) infinité de solutions à cette équation.

Un exemple :

Résoudre l'équation : .

L'équation caractéristique associée à est .
Son discriminant est : .
L'équation caractéristique a une solution réelle : .

Les solutions de sont donc les fonctions , où et sont deux constantes réelles.

Exercice guidé sur le cas 2
Exercice sur le cas 2
Exercice sur le cas 1 ou le cas 2

Cas 3 : Δ < 0

Théorème : Si l'équation caractéristique a deux solutions complexes non réelles et , alors l'équation différentielle admet comme solutions les fonctions :
, où et sont deux constantes réelles quelconques.

Il y a donc une (double) infinité de solutions à cette équation.

Un exemple :

Résoudre l'équation : .

L'équation caractéristique associée à est .
Son discriminant est : .
L'équation caractéristique a deux solutions complexes non réelles : et

Les solutions de sont donc les fonctions , où et sont deux constantes réelles.

Exercice sur le cas 3
Exercice sur l'ensemble de tous les cas

Conditions initiales

Une équation différentielle de la forme admet une infinité de solutions dépendant de deux constantes h et k. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie des conditions initiales de la forme et .

Pour traduire ces conditions, on doit donc commencer par dériver la formule trouvée pour la solution générale (sans oublier que h et k sont deux constantes).

En écrivant ces conditions, on obtient un système de deux équations à deux inconnues h et k, qui se résout à l'aide des méthodes "habituelles". Quand t₀ = 0, le système obtenu est en général simple à résoudre.

Remarque : D'autres types de conditions initiales peuvent également, selon les cas, donner une solution unique les vérifiant. Il faut en général deux conditions pour trouver les deux constantes.

Un exemple :

Déterminer la solution de l'équation différentielle qui vérifie : et .

Equation caractéristique : =0
Discriminant : .
Solution(s) de l'équation caractéristique :

Les solutions de sont les fonctions , où h et k sont deux constantes réelles.

La dérivée de est f'(t) =.
On a donc (en remplaçant t par 0) : et
Le système devient :
Ce système a comme solution :
Donc f(t) =.

Exercice avec des équations de type 1 et 2

Equations différentielles de la forme ay'' + by' + cy = φ(t)

Définition : L'équation homogène associée à l'équation est l'équation .

Pour résoudre (E), on a besoin de résoudre (E₀). Il faut donc déjà savoir faire les exercices de la partie précédente.

Théorème fondamental

Théorème : Soit une équation différentielle et l'équation homogène associée à (E)

La solution générale de l'équation (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (E₀)

La méthode pour trouver la solution générale de (E₀) a été étudiée dans les pages précédentes du cours.

Les méthodes pour trouver une solution particulière de (E) sont dans les pages suivantes.

Recherche d'une solution particulière

Selon les sujets, la recherche de la solution particulière peut se présenter sous deux formes :

une fonction g(t)= ... est donnée dans l'énoncé, et on demande de vérifier que cette fonction est solution de (E)
méthode
la "forme" de la fonction g est donnée (avec des paramètres a, b...) et on demande de déterminer a, b... pour que g soit solution de (E)
méthode

Vérifier qu'une fonction donnée est une solution particulière

Pour vérifier que la fonction g(t) est une solution particulière de l'équation différentielle

On commence par calculer la dérivée de : (et on la simplifie, si possible).
On calcule la dérivée de : (et on la simplifie, si possible).
On calcule ensuite , on le simplifie au maximum et ... on retrouve comme par miracle .

On en déduit alors que g est une solution particulière de

Un exemple :

Vérifier que la fonction définie par est solution de l'équation différentielle : .

La dérivée de g(t) = est g'(t) =.
La dérivée de g'(t) = est g''(t) =.
On a donc : = =

On retrouve bien le second membre de l'équation différentielle .
Ceci prouve que la fonction g est une solution particulière de .

Déterminer une solution particulière de forme donnée

Pour trouver une solution particulière de l'équation différentielle quand la forme de la fonction g(t) est donnée :

On identifie alors les coefficients entre le résultat trouvé et . On obtient ainsi un système permettant de trouver les paramètres cherchés. On les remplace enfin dans l'expression de g(t) pour conclure.

Un exemple :

Déterminer une fonction de la forme qui soit une solution particulière de l'équation différentielle : .

La dérivée de g(t) = a est g'(t) =.
La dérivée de g'(t) = est g''(t) =.
On a donc : = =

On identifie avec le second membre de l'équation différentielle .
En résolvant le système obtenu, on trouve .
La fonction est donc une solution particulière de .

Exercice avec calculs de dérivées pas trop compliqués
Exercice

Résolution de l'équation ay'' + by' + cy = φ(t)

Etapes pour résoudre :

écrire l'équation homogène (E₀) associée :
résoudre (E₀): on appelle "solution générale" de (E₀) l'ensemble de toutes les solutions de (E₀) (dépendant de deux constantes)
déterminer une solution particulière de (E)
la solution générale de (E) est la somme de la solution particulière (étape 3) et de la solution générale de (E₀) (étape 2)

Un exemple :

Résoudre l'équation différentielle : , sachant qu'elle admet une solution de la forme .

Résolution de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée à est : .

Son équation caractéristique est : .
Le discriminant de l'équation caractéristique est : .
L'équation caractéristique a donc deux solutions : r₁ = 2 et r₂ =.

Les solutions de sont donc les fonctions , où et sont deux constantes réelles.

Recherche d'une solution particulière

La dérivée de g(t) = a t +b est g'(t) =.
La dérivée de g'(t) = est g''(t) =.
On a donc : = =

On identifie avec le second membre de l'équation différentielle .
En résolvant le système obtenu, on trouve .
La fonction est donc une solution particulière de .

Solution générale

On ajoute la solution générale de l'équation homogène (E₀), c'est à dire et une solution particulière de (E), c'est à dire .

La solution générale de (E) est donc .

Résolution avec conditions initiales

Comme dans le cas d'une équation homogène, une équation différentielle de la forme admet une infinité de solutions dépendant de deux constantes h et k. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie des conditions initiales de la forme et .

Pour traduire ces conditions, on doit donc commencer par dériver la formule trouvée pour la solution générale (sans oublier que h et k sont deux constantes).

Un exemple :

Résoudre l'équation différentielle , sachant qu'elle admet une solution de la forme .
Déterminer la solution de cette équation qui vérifie : et .

Equation homogène associée

L'équation homogène associée à est : .
Son équation caractéristique est : .
Le discriminant de l'équation caractéristique est : .
L'équation caractéristique a donc deux solutions : r₁ = -4 et r₂ =.

Les solutions de sont donc les fonctions , où et sont deux constantes réelles.

Solution particulière de (E)

g(t) = a t²+b t +c
g'(t) =
g''(t) =
On a donc : =

On identifie avec le second membre de l'équation différentielle et on résout le système obtenu, d'où : .

La fonction est donc une solution particulière de .

Solution générale de (E)

On ajoute la solution générale de l'équation homogène (E₀), c'est à dire et une solution particulière de (E), c'est à dire .

La solution générale de (E) est donc .

Solution de (E) qui vérifie les conditions initiales

La fonction f doit être une solution de (E), donc .
Une des conditions initiales concerne , donc on calcule f'(t) =.
En remplaçant t par 0, on trouve : et .
Les conditions initiales deviennent donc :
C'est un système de deux équations à deux inconnues h et k qui a comme solution :

La seule solution de (E) qui vérifie est donc la fonction f définie par : f(t) =

Exercice (avec calcul de dérivées pas trop compliqué)
Exercice

Exercice

document de cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 (niveau BTS).
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